Heisenberg'in matrix mekaniğine vesile oluşu

From Wikipedia, the free encyclopedia

left|thumb|700x700px|3.enerji seviyesinden 2.enerji seviyesine inen elektron bir tane kırmızı foton açığa çıkarır. Peki bu dalga boyunda spektrumdaki ışıma şiddeti ne olacaktır? Werner Heisenberg, kuantum fiziğinin klasik fizik alışkanlıklarını aşamamasının çözümsüzlüğe yol açtığı bir dönemde, kuantum fiziğinin temellerinin yeniden yapılandırılması gerektiğini düşünmeye başladı.Bu yapılandırma sırasında klasik fiziğin ve onun makro dünyayı ele alışının temeli olan bazı ögeleri saf dışı bıraktı.Heisenberg,bu yeni oluşturulacak kuantum mekaniğinin temelinin temelinin "prensipte tümüyle gözlemlenebilir niceliklerin ilişkilerinden öte"[1] olması gerektiğine karar verdi.Bu süreç,matris mekaniğinin önünü açmış oldu.

"Elektronun değişiminde pozisyon ve periyot"[2] 'tan bahsedilemeyeceğini gözlemledi.Bilakis,en basit vak'adaki(ki bu uyarılmış hidrojen atomlarının ışıması anlamına geliyor) özelliklerinin anlaşılmasında kullanabileceğimiz veriler frekans ölçüm sonuçları ve hidrojen parlak çizgi spektrum şiddetleriyle kısıtlıydı.

Klasik fizikte, ışıma yapan bir sistemde üretilen ışığın tüm frekanslarının şiddeti, bu frekansların genliğinin karesine eşittir. Bu durum genliği üzerine bolca kafa patlatılır hale getirdi.Heisenberg'in kuantumun kuramsal denklemlerini yapılandırmakta yararlı olacağını umarak kullandığı klasik denklemlerin seçilmiş olma sebepleri genliği vermeleriydi ve klasik fizikte (ışık) şiddetler(i) sadece genliklerin kareleri alınarak hesaplanabilir. Ama Heisenberg takip edilecek "en basit ve doğal varsayım"[3]ın Kramers'in yakın tarihli çalışmasıyla[4] yol gösterdiği ışığın yayılışının hesaplanması olduğunu fark etti. Bir önceki yıl Kramers'in de desteğiyle yaptığı çalışma[5] ona ışıma yaptığında hidrojen gazına ve yayılmaya müsaade eden ortamda gelen tek frekanslı ışıma atomu uyardığında ne olduğu ve de gelen ışıktan hidrojen gazına devredilen enerjinin geri ışıması(bu ışımalar bazen tek frekanslı ışımanın frekansında ama genelde toplamları bu frekansı veren iki tane daha düşük frekans) hakkında önemli ipuçları verdi. Kurdukları modele göre gelen fotondan aldığı enerjiyle bir üst enerji seviyesine çıkan bir elektron, bir adımda aldığıyla aynı frekansta bir foton yayarak ya da indiği her seviyede bir foton yayarak birkaç adımda temel seviyesine dönebilir.Bu kanaate dayanarak yeni denklemler türetilirken çarpanların sadeleşme biçimi ortaya çıkacak sonucu görece kolaylaştıracaktır.

Kuantum mekaniksel kuramın topyekün gelişimi[edit]

Heisenberg, kuantum fiziğini parametreler günlük objeler ölçeğinde ifade edilebilir olduğu zaman klasik fiziğe benzeyecek şekilde uyarlamayı umdu, fakat parametreler atomik ölçeklere indirildiğinde hidrojenin görülebilir parlak çizgi spektrumunda olduğu gibi uzun aralıklı frekansların sürekli olmadığı görüldü.Lafı daha da uzatıp karmaşıklaştırmadan söyleyebiliriz ki; Werner Heisenberg klasik fiziğin atom ve moleküllerden büyük şeylerin dünyasındaki fenomenleri açıklayışının doğru olduğu ve daha kapsayıcı olan kuantum kuramsal modelin içinde özel durumları açıklamada kullanılabileceği fikrini benimsedi. 

Bazı fizikçilerin "sihirli" bulduğu bir dizi yoğun matematiksel analojinin ardından Heisenberg şiddetlerin klasik hesaplanması için kuantum mekaniksel bir analog olan denklemini geliştirdi.O zamanlar bilim insanlarının hidrojen ışıması hakkında anlamayı en çok arzuladığı şey hidrojenin kendi spektrumundaki çizgilerin şiddetinin nasıl hesaplanacağı veya öngörülebileceğiydi. Heisenberg'in o zaman bunu fark etmese de yeni kuantum kuramsal hesaplamalarını ifade etmek için kullandığı genel format iki matris ve onların nasıl çarpılacağı hakkında bir tarif olarak kullanılabilirdi.[6]

  Heisenberg'in 1925 tarihli çığır açan makalesinde ne çözümlerinde matris kullanır ne de onlardan bahseder.Heisenberg'in en büyük ilerlemesi hidrojen ışımasının "prensip itibariyle sadece ilintili fiziksel özellikleri tayin edebilen bir şema (frekans ve genliklerin geçişleri)"[7]idi.

Kuantum mekaniğini temellerinden sarsan makalesini yazdıktan sonra Heisenberg, gerekli olabilecek düzeltmeler için ileri gelen bir meslektaşına başvurdu ve hak edilmiş bir tatile çıktı.Max Born, Heisenberg' in belalı ve rahatsız edici bulduğu bir hayli zor denklemler ve geri kalan denklemler üzerine kafa patlattı. Birkaç günün ardından bu denklemlerin matris yazmayı gerektiren gidişatlarını fark etti. Matrisler pek de sık kullanılmazdı,o dönemin matematikçileri bile pek sık onlara başvurmazdı, ama onların matematikteki kullanılışları çoktan-açık bir şekilde-belliydi.O(Max Born) ve bir miktar meslektaşı Heisenberg tatilden dönmeden evvel makaledeki hesapları matris formunda yazabilmeyi kendilerine görev edindiler, ve birkaç ay içinde matris formundaki yeni kuantum mekaniği başka bir makalenin temelini oluşturdu.

Konum ve momentum gibi niceliklerden Heisenberg'in matrisi bağlamında bahsedildiğinde pq ≠ qp nin p nin ve q nun tek bir değerini işaret etmediği ancak konum değerleri ve momentum değerleri matrislerine (Matris (matematik)) işaret ettiği akıldan çıkarılmamalıdır. Bu durumda, p ile q'yu ve q ile p'yi çarpmak iki matrisin Matris çarpımı'nı yapmak anlamına gelecektir. İki matris çarpıldığında sonuç üçüncü bir matrisi verir.

Max Born pq ve qp yi temsil eden matrisleri hesapladığında sonuçlarının eşit olmadığını fark etti.Heisenberg de kendine özgü formüle etme biçimiyle aynı sorunun farkına varmıştı ve Born için apaçık olan sonuçlarını tahmin etmiş de olabilirdi;pq ve qp matrislerinin farklı sonuçlar vermesi Heisenberg'in makalesinde kullandığı matematikten gelen iki çarpımı barındıracaktı: negatif matrisin karekökünü veren i ve Planck sabiti h. Heisenberg'in "belirsizlik prensibi"(belirsizlik ilkesi) demeyi tercih ettiği fikir aslında Heisenberg'in başlangıçtaki denkleminde bulunmaktaydı.

Paul Dirac Heisenberg' in çalışmasının özünün onun en başta bulduğu problematikle ilintili olduğuna karar verdi:yer değiştirme matrisinin momentum matrisi ile çarpımı ve momentum matrisinin yer değiştirme matrisiyle çarpımları arasında birleşme özelliğinin olmadığı gerçeği. Dirac'ın bunu kavraması ona yeni ve üretken fırsatlar sundu.[8]

Belirsizlik prensibi (ilkesi)[edit]

 Max Born, Heisenberg'in aşağıda verilen garip "tarif"ini nasıl kullandığını ve büyük etki yaratacak bir keşifte bulunduğunu anlatıyor:

Örnekleri değerlendirerek.... [Heisenberg] bu kuralı buldu...Bu, 1925 yazındaydı... izne ayrıldı... ve makalesini yayımlamam için bana getirdi...

Heisenberg'in çarpım kuralı aklımı sürekli meşgul ediyordu, bir haftalık yoğun bir düşünme ve deneme sürecinden sonra bir cebirsel kuram aklıma geliverdi...Bu tip dörtgensel diziler matematikçilerin iyi bildiği, belirli bir çapma kuralıyla bağlantılı olan matrislerdi.Bu kuralı Heisenberg'in kuantum koşuluna uyguladım ve köşegen elemanları için geçerli olduğunu fark ettim. Geri kalan elementlerin ne olacağını tahmin etmek kolaydı,belirtmek gerekirse,sıfır;ve birden bire bu garip formül karşımda duruyordu


[Q sembolü yer değiştirme matrisini, P sembolü momentum matrisini, i matrislerden negatif olanın karesini, h ise Planck sabitini temsil ediyor[9]]

Bu formül Heisenberg'in matematikten türeyen belirsizlik ilkesinin özüdür. Kuantum mekaniği hareket eden atom altı parçacıklarının özelliklerini ölçebilmemizi sağlayan kesinliği sınırlandırır.Bir gözlemci ya yer değiştirmeyi ya da momentumu kesin bir şekilde ölçebilir ancak ikisini aynı anda ölçemez. herhangi bir değişkendeki büsbütün kesinlik diğer değişkenin ölçümünde kesinlikten eser olmamasıyla sonuçlanacaktır.

Çığır açan denklem[edit]

[[Dosya:H_plasma_spectrum.gif|thumb|260x260px|Hidrojen plazmasının Ocean Optics USB2000 ile elde edilmiş görünür spektrum şiddetleri.Alpha,Beta,Gamma ve Balmer serileri görülebiliyor diğer çizgiler ise gürültüden ayırdedilemez halde.]] Bazı fizikçlerin "büyülü" bulduğu yoğun matematiksel analojiler sonucu, Werner Heisenberg klasik hesaplamanın kuantum mekaniksel karşılığı olan bir denklem yazdı.Aşağıdaki denklem 1925 tarihli makalesinde[10][11] bulunmaktadır.Genel formuyla şuna benzer:

Bu genel format herhangi bir C teriminin A grubu ve ona bağlı bir B grubu terimlerinin çarpımıyla toplandığını ifade eder. Potansiyel olarak Sonsuz bir A serisi ve onunla eşleşen bir B serisi olacaktır.Bu çarpımların her birinin çarpanları elektronun azalarak birbirini izleyen iki enerji seviyesine ait ölçümleri olacaktır.Bu tip kurallar matris mekaniğini günlük hayatta rastladığımız fizikten ayırır çünkü önemli olan elektronun bu ya da öbür haldeyken ne yaptığı değil elektronun hangi enerji seviyesinde başlayıp hangi enerji seviyesinde(orbital/yörünge) bittiğidir.

Formül ilk bakışta gözümüzü korkutsa bile A ve B frekans listelerini temsil ediyorsa,şimdilik, yapılması gereken aşağıdaki çarpımları yapıp sonuçlarını toplamak:

n enerji seviyesinden n-a enerji seviyesine gidilirkenki  enerji değişiminin frekansı ile n-a'dan n-b'ye gidilirkenki enerji değişiminin frekansını çarpın ve bu değere n-a'dan n-b'ye giderkenki frekans ve n-b'den n-c'ye giderkenki frekansların çarpımlarını ekleyin,böylece sembollerle gösterimi aşağıdaki gibi olacaktır: f(n, n-a) * f(n-a,n-b)) + f(n-a,n-b) * f(n-b,n-c) + vb.

(n-a genelde n'den daha yüksek enerjili bir seviyeyi temsil eder,yani n'den n-a'ya geçiş elektronun dışarıdan bir fotonun enerjisini aldığını ve daha yüksek bir yörüngeye çıktığını gösterir,n-a'dan n'ye geçiş ise elektronun enerji kaybettiğini, alttaki bir yörüngeye indiğini ve foton saçtığını gösterir.) 

Ölçülmüş bir nicelik için bu sürecin her basamağını yapmak kolay olacaktır.Mesela, bu bölümün başında çerçeve içindeki şema gerekli olan tüm dalga boylarını vermektedir.Hesaplanan değerler aşağıda gösterildiği gibi kolayca bir tabloya yerleştirilebilir.Bununla birlikte, seriler sonsuz olduğundan dolayı,kimse tüm hesapları yapamayacaktır.

 Heisenberg bu hesaplamaları aynı tipte iki ölçümü(genlikler) çarpmasını sağlayacak şekilde tasarlamıştı, böylece hangi sırayla çarpıldıkları önemli olmuyordu.Sonra, Heisenberg aynı şemayı iki değişkeni (momentumu temsil eden p ve yer değiştirmeyi temsil eden q) çarpmak için kullandığında "hatrı sayılır bir zorluk ortaya çıkıyor"[12]du. q'nun matrisini p'nin matrisiyle ve p'nin matrisini q'nun matrisiyle çarpmak iki ayrı sonuç veriyordu.Bu durum, belirli bir sınırın altına çekilemeyen küçük bir farklılığa yol açıyordu ve bu sınıra Planck sabiti(h) de dahildi.Bu konu hakkında sonra konuşacağız.Aşağıdaki kısa örnek hesaplamaların matris adı verilen sistemlere koyulduğunda nasıl olacağını gösteriyor.Heisenberg'in öğretmeni neredeyse ilk bakışta çalışmalarının matrislerle yazılması gerektiğini anladı çünkü bu yazım şekli(matris) matematikçiler için doğru sonuçlar veren ve alışıldık bir yöntemdi.(Heisenberg foton yayılmasıyla ilgilendiği için, çizimler düşük enerji seviyesinden yüksek enerji seviyesine çıkan elektronlar,örn:n→n-1,yerine yüksek enerji seviyelerinden düşük enerji seviyelerine giden elektronlar şeklinde, örn:n←n-1,gösterilecektir.)

(Bağımlı değişkenler momentum ve konum için yazılmış denklem)

p 'nin matrisi

Electron States n-a n-b n-c ....
n p(n︎←n-a) p(n︎←n-b) p(n︎←n-c) .....
n-a p(n-a︎←n-a) p(n-a︎←n-b) p(n-a︎←n-c) .....
n-b p(n-b︎←n-a) p(n-b︎←n-b) p(n-b︎←n-c) .....
transition.... ..... ..... ..... .....

 q' nun matrisi

Electron States n-b n-c n-d ....
n-a q(n-a︎←n-b) q(n-a︎←n-c) q(n-a︎←n-d) .....
n-b q(n-b︎←n-b) q(n-b︎←n-c) q(n-b︎←n-d) .....
n-c q(n-c︎←n-b) q(n-c︎←n-c) q(n-c︎←n-d) .....
transition.... ..... ..... ..... .....

Yukarıdaki iki matrisin Heisenberg'in 1925 tarihli makalesinde ilgili denklemle kesinleşen matrisi:

Electron States n-b n-c n-d .....
n A ..... ..... .....
n-a ..... B ..... .....
n-b ..... ..... C .....

A=p(n︎←n-a)*q(n-a︎←n-b)+p(n︎←n-b)*q(n-b︎←n-b)+p(n︎←n-c)*q(n-c︎←n-b)+.....

B=p(n-a︎←n-a)*q(n-a︎←n-c)+p(n-a︎←n-b)*q(n-b︎←n-c)+p(n-a︎←n-c)*q(n-c︎←n-c)+.....

C=p(n-b︎←n-a)*q(n-a︎←n-d)+p(n-b︎←n-b)*q(n-b︎←n-d)+p(n-b︎←n-c)*q(n-d︎←n-d)+.....

Eğer matrisler tersine çevrilseydi aşağıdaki sonuçlara varılırdı:

A=q(n︎←n-a)*p(n-a︎←n-b)+q(n︎←n-b)*p(n-b︎←n-b)+q(n︎←n-c)*p(n-c︎←n-b)+..... B=q(n-a︎←n-a)*p(n-a︎←n-c)+q(n-a︎←n-b)*p(n-b︎←n-c)+q(n-a︎←n-c)*p(n-c︎←n-c)+..... C=q(n-b︎←n-a)*p(n-a︎←n-d)+q(n-b︎←n-b)*p(n-b︎←n-d)+q(n-b︎←n-c)*p(n-d︎←n-d)+.....

ve devamı.

Çarpım sırasını değiştirmek aynı zamanda çarpılan sayıları da adım adım değiştirmekte.

Sonuçlar[edit]

Max Born Heisenberg'in temel çalışmasından nasıl sarsıcı bir şey türettiğini açıklıyor:[13]

Örnekleri değerlendirerek.... [Heisenberg] bu kuralı buldu...Bu, 1925 yazındaydı...izne ayrıldı...ve makalesini yayımlamam için bana getirdi...

Heisenberg'in çarpım kuralı aklımı sürekli meşgul ediyordu, bir haftalık yoğun bir düşünme ve deneme sürecinden sonra bir cebirsel kuram aklıma geliverdi...Bu tip dörtgensel diziler matematikçilerin iyi bildiği, belirli bir çapma kuralıyla bağlantılı olan matrislerdi.Bu kuralı Heisenberg'in kuantum koşuluna uyguladım ve köşegen elemanları için geçerli olduğunu fark ettim. Geri kalan elementlerin ne olacağını tahmin etmek kolaydı,belirtmek gerekirse,sıfır;ve birden bire bu garip formül karşımda duruyordu 

[Q sembolü yer değiştirme matrisini, P sembolü momentum matrisini, i matrislerden negatif olanın karesini, h ise Planck sabitini temsil ediyor[14] ]

Bu alıntı, Belirsizlik ilkesinin Heisenberg'in matris mekaniğinin yarattığı matematiğin kaçınılmaz sonucu olduğunu gösteriyor. Heisenberg böyle bir sonuç beklemiş olabilir ama Born matematiksel olarak kanıtladı.

İlginizi çekebilir[edit]

http://arxiv.org/pdf/quant-ph/0404009v1 Direct download for Aitchison et al. on this subject.

Kaynakça[edit]

  1. ^ B.L.Van der Waerden, Sources of Quantum Mechanics, p. 261
  2. ^ B.L.Van der Waerden, Sources of Quantum Mechanics, p. 261
  3. ^ B.L.Van der Waerden, Sources of Quantum Mechanics, p. 275f
  4. ^ H. A. Kramers, Nature 113 (1924) 673.
  5. ^ See paper 3 in B.L.Van der Waerden, Sources of Quantum Mechanics'.
  6. ^ Heisenberg's paper of 1925 is translated in B. L. Van der Waerden's Sources of Quantum Mechanics, where it appears as chapter 12.
  7. ^ Aitchison, et al., "Understanding Heisenberg's 'magical' paper of July 1925: a new look at the calculational details," p. 2
  8. ^ Thomas F. Jordan, Quantum Mechanics in Simple Matrix Form, p. 149
  9. ^ See Introduction to quantum mechanics. by Henrik Smith, p. 58 for a readable introduction.
  10. ^ B.L.Van der Waerden, Sources of Quantum Mechanics, p. 266
  11. ^ In the paper by Aitchison, et al., it is equation (10) on page 5.
  12. ^ B.L.Van der Waerden, Sources of Quantum Mechanics, p. 266 et passim
  13. ^ Born's Nobel lecture quoted in Thomas F. Jordan's Quantum Mechanics in Simple Matrix Form, p. 6
  14. ^ See Introduction to quantum mechanics. by Henrik Smith, p. 58 for a readable introduction.

Kategori:Fizik tarihi Kategori:Kuantum mekaniği